为什么勾股定理被称为千古第一定理？只看它对数学的影响

古埃及文明可以追溯到公元前6000年，但他们的足迹大多已湮没在历史中。在现存的众多奇观中，世界八大奇迹之一的金字塔是最令我们震惊的。金字塔中有许多未解之谜，其惊人的结构设计和各种测量数据的重合为其增添了几分神秘。

众所周知，金字塔的底部多为正方形，角度误差很小。古埃及人在技术落后的情况下是如何保证侧面的垂直关系的？要知道，金字塔的底部大约有200米长，稍有误差就会让金字塔“变形”。有一种合理的解释是，古埃及人早已掌握了勾股定理，并能将其应用于生活：

如上图，准备一根长绳，然后在每个12点平分线处打一个结，按照3:4:5的关系拉紧成三角形，这样与长边相对的角就是直角。古埃及人利用3:4:5的边长关系成功构造了一个直角三角形，这不是很聪明吗？原理是什么？勾股定理可以给出合理的解释。

勾股定理：直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方。另一方面，如果一个三角形，两边的平方和等于另一边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

从古至今，没有一个数学定理像勾股定理一样引起人们的特别关注和喜爱。普林顿的322泥板表明，古巴比伦人至少在公元前1600年就知道这个定理。中国古代数学名著《周髀算经》也明确记载了“苟广三，顾，吴”的特例，这也是“勾股定理”一词的来源。

在欧洲，古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现了毕达哥拉斯定理，据说学校还杀了一百头牛来庆祝。因此，在西方，勾股定理也被称为百牛定理。其他古代文明，如古印度、古阿拉伯，也有勾股定理的记载。

勾股定理被发现后，有——种证明方法，如欧几里德法、“赵双仙图”法、总统法等。据统计，现在有500多种。勾股定理在几何、数论、代数、解析几何等领域发挥着重要作用，在推广应用方面也取得了巨大的成就。不愧为“古今第一原理”。

勾股定理的“实验验证”

勾股定理有多重要？我们不妨做一个假设：如果毕达哥拉斯定理至今未被发现，数学会怎样？

01数字系统的扩展是从容易感知的自然数开始的，经过不断的扩展，今天达到了一个完整的状态。零、负数、虚数的发现有其独特的历史印记，无理数的发现尤其被人津津乐道。

公元前500年，毕达哥拉斯学派的希帕索斯在研究毕达哥拉斯定理时，偶然发现了一个惊人的事实：正方形的对角线和一边的长度是不可公度的，即边长为1的正方形的对角线长度不能用整数或分数来表示。

这是对毕达哥拉斯学派“万物皆有数”理论的致命打击，由此带来的“第一次数学危机”久久未能尘埃落定。当然，数学发展史上的每一次挫折都是一次革命。随着危机的解决，数学研究将注入新的血液。这一次，数字系统中增加了一个新成员——“无理数”。

虽然2并不是第一个被发现的无理数，但因为圆周率可能发现得更早，古人在实际应用中只考虑圆周率的近似值，并没有意识到它的不合理性。是2迫使人们认为存在不同于“整数和分数”的数，进而试图扩充数系，解决矛盾。所以2的发现极大地促使数学家发现无理数，而2的发现无疑依赖于勾股定理。

很难想象，如果没有勾股定理，我们现在的“数系”会是什么样子。人们还会不考虑圆周率的不合理性，更不会考虑自然常数e和分数的区别吗？

02数论会失色不少2是几何和代数中勾股定理的融合产物。从数论的分析中我们可以得出什么结论？

满足勾股定理(其中a，b，c为正整数)的三元数组(a，b，c)称为勾股数。例如，(3，4，5)是一组毕达哥拉斯数。

通过简单的运算，勾股数可以表示为：(2mn k，(m-n) k，(m n ) k)

*如果定理中AB=C的平方换成立方体，有解吗？*

17世纪著名数学家费马在阅读丢番图《算术》时，在第11卷8号命题旁写道：

丢番图《算术》和费马笔记

“不可能把一个三次数除以两个三次数之和，也不可能把一个四次幂除以两个四次幂之和，更不可能一般地把一个高于二次的幂除以两个同次幂之和。在这方面，我确信我找到了一个绝妙的证明，可惜这里的空白处太小，写不下来。”

视界：费马大定理

费马的牛皮真的很夸张。这个看似简单的数论问题，几个世纪以来难倒了——位顶级数学家，包括欧拉、勒让德、高斯、狄利克雷等等。1995年，该猜想提出300年后，被英国数学家安德鲁怀尔斯完全证明。这个证明过程包括两篇文章，共130页。

费马

虽然费马大定理被证明是在20世纪，但这300年来在研究它时所做的努力和得出的结论已经远远超出了问题本身。这一切都来自于勾股定理的维度延伸，将手伸向了数论。其实远不止如此，勾股定理对解析几何的影响更为深远。

众所周知，笛卡尔和费马在17世纪独立发现了“坐标法”，用代数方法解决数学问题，后来发展成为数学的一个重要分支“解析几何”。但笛卡尔的坐标系是“斜坐标”。费马虽然也用“直角坐标”，但都是用“单坐标轴”(只有X轴)。无论从哪个角度看，17世纪的坐标法与现代意义上的“坐标法”都有很大差距，理解难度也不在一个层次上。

笛卡儿

而常用的坐标法更简单，不仅因为它是基于“直角坐标系”，还因为它引入了直线斜率、距离公式等重要公式。尤其是距离公式，在解析几何中有着不可替代的作用。公式的推导是基于勾股定理。

三角学的不完全三角学也与勾股定理密切相关。知道一个直角三角形的两边，就可以计算出另一边。另外，我们可以利用勾股定理任意交换正弦函数和余弦函数：

正弦和余弦的交换

余弦定理作为勾股定理的推广，在求解三角形中的作用更大。即使在今天，这些内容也是中学生必须掌握的重要数学知识。

上面列举了勾股定理对数学几个分支的影响。可以说已经渗透到了数学的方方面面，对数学的启发是无限的。

同时，“勾股定理”也改变了人们的思维方式。它告诉人们，几何和代数不是独立的部分，它们的融合具有巨大的力量。这种思维推动了17世纪“解析几何”和“微积分”的发现。也给了更多数学家探索看似不相关的事物和学科间关系的勇气。

勾股定理的由来是什么？公元前11世纪，数学家商高(生于西周初年)提出了“勾三、顾四、武贤”。它写于公元前《周髀算经》年，记录了商皋和周公之间的一次对话。

尚高说：“.所以折矩，勾宽三，股修四，过角五。”含义：当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(弦)时，半径角(弦)为5。以后人们会简单地说这个事实是“三股四弦五”，根据这个典故，勾股定理就叫做商高定理。

公元3世纪，三国时期的赵爽在《周髀算经》年对勾股定理做了详细的注解，《九章算术》年记载，“勾股分别相乘，勾股的平方图由赵爽创造，结合数形详细证明勾股定理。后来刘徽也在刘徽的注解里证明了。

中国清末数学家华提出了勾股定理的二十多种证明。

毕达哥拉斯定律的意义：

1.勾股定理的证明是证明几何的开始。

2.勾股定理是历史上第一个把数和形联系起来的定理，也就是第一个把几何和代数联系起来的定理。

3.勾股定理导致了无理数的发现和第一次数学危机，极大地加深了人们对对数的认识。

4.勾股定理是历史上第一个给出完整解的不定方程，由此引出费马大定理。

5.勾股定理是欧几里得几何的基本定理，具有很大的实用价值。这个定理不仅是几何学中一颗耀眼的明珠，而且在高等数学和其他科学领域也有广泛的应用。

为什么勾股定理勾股定理是一个基本的几何定理，意思是直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方。中国古代把直角三角形叫做勾股定理，较小的直角边是钩，另一条较长的直角边是弦，斜边是弦，所以这个定理叫做勾股定理，也有人叫它商高定理。

勾股定理的证明方法大约有500种，勾股定理是数学中被证明最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，商高提出了“三股四弦五”勾股定理的特例。在西方，公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派首先提出并证明了这个定理。他通过推导证明了直角三角形斜边的平方等于两个直角的平方之和。

扩展信息：

比如：勾三股，勾四弦，勾五。

“勾三股四弦五”是勾股定理的特例，是商高在西周初年提出的。但只适合直角三角形，(3个角分别是36.8976，53.024，90。)

在中国古代，短的直角边叫钩，长的直角边叫弦，斜边叫弦。据中国西汉《周髀算经》年的书记载，公元前1100年左右，人们已经知道，如果钩是三，股是四，那么弦就是五。

西方还有“勾三股，四弦五”定理，《周髀算经》比西方早500多年，西方称之为“毕达哥拉斯定理”。

三股四弦五直角三角形的内切圆直径为2。所以有“勾三股四弦五径二”之说。

参考来源：百度百科勾股定理——